有界闭集上的连续函数有界

习题 23

设 \(F\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 上的有界闭集, \(f\) 是 \(F\) 上的连续函数. 取 \(\epsilon = 1\), 则 \(\forall x \in F, \exists \delta_x > 0\), 使得 \(\forall x' \in B(x,\delta_x) \cap F\), 有\(\lvert f(x) - f(x')\rvert < \epsilon = 1\). 同时, \(\bigcup_{x\in F} B(x,\delta_x) \supset F\), 根据 Heine-Borel 有限覆盖定理, 存在有限点列\(\{x_i\}_{i = 1}^{n} \subset F\), 使得 \(\bigcup_{i = 1}^n B(x_i,\delta_{x_i}) \supset F\).

令 \(M = max\{\lvert f(x_i) \rvert\}_{i = 1}^n + 1\), \(\forall x \in F, x\) 必落于某个 \(B(x_{i},\delta_{x_{i}})\) 内, 从而 \(-M\leqslant f(x_{i})-1<f(x)<f(x_{i})+1\leqslant M\), 即 \(\lvert f(x) \rvert < M\), \(f(x)\) 有界.