习题 21
设 \(E = [0,+\infty] \subset \mathbb{R}\) 考虑 \(E\) 上的特征函数列 \(f_n(x) = \chi_{[n,n+1]}(x), n \in \mathbb{N}\).
\(\forall x, \forall \epsilon > 0, \exists N = [x], \forall n > N, n > x\), 故 \(f_n(x) = 0 < \epsilon, f_n(x)\)处处收敛到 0.
\(\forall \delta > 0\) 为正常数, 设 \(f_n(x)\) 在可测集 \(E_\delta \subset E\) 上一致收敛到 0.
假设\(m(E_\delta) = + \infty\), 则显然 \(E_\delta\)无上界. 取 \(\epsilon \in (0,1), \forall N\), 总有 \(x \in E_\delta\)且 \(x > N + 1\), 因此存在 \(n = [x] > N\), 使得 \(f_n(x) = 1 > \epsilon\), 与 \(f_n(x)\) 在 \(E_\delta\) 上一致收敛到 0 矛盾, 因此必有 \(m(E_\delta) < +\infty\).
故 \(m(E - E_\delta) = m(E) - m(E_\delta) = + \infty > \delta\).
换言之, \(f_n(x)\) 在 \(E\)上处处收敛到 \(0\), 但是去掉 \(E\) 的任何有限测度子集, 在剩下的子集上\(f_n(x)\)都不是处处收敛的, 因此说明 Egorov 定理中 \(m(E) < + \infty\) 的条件是必要的.